العوامل والاعداد الاولية

اولا : عوامل العدد:

نعلم انه : من الممكن كتابة اي عدد علي صورة حاصل ضرب عددين ( أو أكثر) فمثلا :

- بالنسبة للعدد 6 , يمكن أن نكتب :  

6 = 1 × 6   ,  6  =  2  ×  3

في هذه الحالة تسمي الاعداد : 1 , 6 , 2 , 3  عوامل العدد 6

- وبالنسبة للعدد 35  ,  يمكن أن نكتب  :  

35  =   1  ×  35   ,    35  =   5   ×   7

لذا فإن عوامل العدد 35  هي  :  1  ,  35  ,  5  ,  7

أكمل  بالنسبة  للعدد  12  ,  يمكن  أن نكتب  :

12  =   1  ×  12  

12 =  2  ×    6

12 =  3   ×   4

لذا فإن عوامل العدد  12  هي  :   ,            ,        ,                ,            ,                  ,

ملحوظة :  تسمي عملية كتابة العدد علي صورة حاصل ضرب عددين أو أكثر 

بتحليل العدد إلي عوامل

مثال  :

أكمل تحليل كل من الاعداد الاتية الي عوامل , واكتب عوامل كل منها :

(أ) 18  =   1  ×  18     =    2  ×   9     =     3   ×    6

عوامل العدد 18  هي   :   1  ,  2   ,  3   ,  6   ,   9  ,  18 

(ب)  42  =   1  ×   42   =   2  ×  21   =   3   ×   14   =   6   ×   7

عوامل العدد 42  هي  :  1  ,  2   ,  3   ,   6   ,   7   ,  14   ,  21   ,    42

(ج)   24  =   1  ×   24    =   2  ×   12   =   3   ×   8   =    4     ×      6

عوامل العدد 24 هي :  

1 ,  2  ,   3  ,    4   ,    6   ,   8   ,   12   ,   24

(د)   120   =  1  ×  120  =   2  ×   60  =  3   ×   40   =   4   ×   30   =   5   ×    24   =   6  ×   20   =  8   ×   15  =   10  ×   12

عوامل العدد 120  هي   :   1  ,  2  ,  3   ,   4   ,   5  , 6   ,    8   ,   10  ,  12  ,  15   ,    20   ,   24   ,   30   ,   40   ,   60   ,  120  

ثانيا :  الاعداد الاولية :

الاعداد الأولية :

لاحظ واكتشف

5  =    1   ×   5    ويمكن تمثيلها علي الشبكة المقابلة بصف مكون من  5   مربعات صغيرة أو عمود من 5 مربعات صغيرة فقط 

وهكذا للأعداد 2 , 3 , 7 , 11 , 13  ,  ............................

جميعها يمكن تمثيلها بصف واحد أو عمود واحد فقط 

تسمي مثل هذه الاعداد أعداد أولية  .

أوجد عوامل كل عدد من الاعداد الاتية : 

4  ,   7   ,  10   . 11   ,  15   ,   17

أكمل الحل :

(أ)  4   =   1  ×   4   =    2   ×   2   
        عوامل العدد 4  هي :  1  ,  2   ,   4 


(ب)  7  =  1   ×   7       عوامل العدد  7  هي   :   1  ,   7 

(ج)   10  =  1  ×   10   =   2   ×    5   عوامل العدد 10  هي  :   1  ,  2  ,  5   ,  10

(د)  11  =  1  ×   11     عوامل العدد  11 هي  :   1  ,   11


(ه)  15 =  1  ×   15   =   3   ×   5   عوامل العدد 15  هي  :   1  ,  3   ,  5  ,   15

(و)  17   =  1  ×   17    عوامل العدد  17  هي  :  1   ,17

مما سبق وجدنا أن كلا من الاعداد  4 ,  10  ,  15   له أكثر من عاملين , بينما  كل من الاعداد  7  ,  11   ,  17   له عاملان فقط ( الواحد والعدد نفسه ) وهي تسمي اعداد أولية .


وبصفة عامة فإن : كل عدد له فقط عاملان , العدد نفسه والواحد الصحيح يعتبر عددا أوليا 

أي أ، : العدد الأولي لا يقبل القسمة إلا علي نفسه وعلي الواحد الصحيح 

ملحوظة :

(1) الواحد الصحيح لا يعتبر عددا أوليا .

(2) جميع الأعداد الأولية فردية ماعدا العدد 2


مثال(2) 

حلل كلا من الأعداد الأتية إلي عوامله الأولية : 15 , 12 , 9 , 26 , 36 

15 =  3  ×  5

12 = 2 × 2 × 3

9 = 3 × 3

26 = 2 × 13

36 =  2  ×  2  ×  3  ×  3

ثالثا : تحليل العدد ( غير الاولي ) إلي عوامله الأولية :

مثال (3)

حلل العدد 315 إلي عوامله الأولية 

الحل :

في هذه الحالة نقسم العدد علي الأعداد الأولية  2  ,  3  ,  5  ,   7

وفقا لقابلية قسمة العدد علي هذه الأعداد

315 = 3 × 3 × 5 × 7